Matemática básica Ejemplos

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Paso 1

Simplifica $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $k^{2} + 3 k - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = k$ y $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

Paso 1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = k$ y $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $k - 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $k - 1$ de $(k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Paso 1.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Paso 1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $k - 4$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $k - 4$ de $(k + 4) (k - 4)$ .

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Eleva $k + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

Paso 1.5.2

Eleva $k + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

Paso 1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

Paso 1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$k + 1, 1$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$k + 1, 1$

Paso 2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$k + 1$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ por $k + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ por $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $k + 1$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

Paso 3.3.2

Multiplica $a$ por $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $k$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $a k$ de ambos lados de la ecuación.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe ${(k + 4)}^{2}$ como $(k + 4) (k + 4)$ .

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

Paso 4.1.2.2

Expande $(k + 4) (k + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

Paso 4.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

Paso 4.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Paso 4.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.3.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Paso 4.1.2.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Paso 4.1.2.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

Paso 4.1.2.3.2

Suma $4 k$ y $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

Paso 4.2

Resta $a$ de ambos lados de la ecuación.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 8 - a$ y $c = 16 - a$ en la fórmula cuadrática y resuelve $k$ .

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Multiplica $- - a$ .

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Paso 4.5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe ${(8 - a)}^{2}$ como $(8 - a) (8 - a)$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Expande $(8 - a) (8 - a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.5.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1.6.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.5

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.6.1.5.1

Mueve $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.5.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.1.7

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6.2

Resta $8 a$ de $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.9

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.10

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.11

Resta $64$ de $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.12

Suma $- 16 a$ y $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.13

Suma $- 16 a$ y $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.14

Factoriza $a$ de $a^{2} - 12 a$ .

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Paso 4.5.1.14.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.14.2

Factoriza $a$ de $- 12 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.14.3

Factoriza $a$ de $a \cdot a + a \cdot - 12$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$